add chapter öffentlicher Schlüssel&Privater Schlüssel

add minor changes to chapter Verschlüsselung
add several corrections

main.tex

@@ -87,7 +87,7 @@ Verfahren sehr viel schlechter ist. Deshalb wird RSA oftmals nur zum
 Schlüsseltausch eingesetzt und eine symetrische Verschlüsselung zum
 Verschlüsseln der eigentlichen Daten.
 
-\section{Verschlüsseln}
+\section{Öffentlicher und Privater Schlüssel}
 
 TODO:
 Sind das wirklich alles Sections? Ich habe sie jetzt mal in Subsections
@@ -121,14 +121,14 @@ Gleichung  erstellen nach :
 \end{align*}
 
 \subsection{Konstruktion e}
-Wir bestimmen eine zu n = 60 teilerfremde Zahl 
+Wir bestimmen eine zu m = 60 teilerfremde Zahl 
 e < n -> 7 \\
 
 \begin{align*}
 Platzhalter
 \end{align*}
 
-\subsection{Konstrktion d }
+\subsection{Konstruktion d }
 Um d zu Konstruieren müssen wir den erweiterten euklidischen Algorithmus mit m 
 anwenden
 
@@ -151,11 +151,45 @@ Danach verwenden wir die 2. letzte Zeile  und formen die Gleichung nach 1 um
 1 & = 43*7 mod 60  // (60 -17 = 43)\\
 1 & = d ^e mod n    /// ( Umformen_ nach_ d)\\   
 d & = 7^-1 mod 60 \\ 
- d & = 43\\
+d & = 43\\
 \end{align*}
 
+\section{Verschlüsselung}
+Im Beispiel der Schlüsselkonstruktion werden die Variablen e und N als öffentlicher Schlüssel festgelegt. Dieser wird benötigt um eine Nachricht für den dafür entsprechenden Empfänger zu verschlüsseln. Mit der daraus resultierenden Zahl sowie dem privaten Schlüssel, welcher aus den Variablen d und N besteht, kann die Nachricht wieder entschlüsselt werden. 
+
+In unserem Beispiel lautet der private Schlüssel also: 43 + 77
+und der öffentliche Schlüssel: 7 + 77
+
+\subsection {Der eigentliche Akt der Verschlüsselung}
+Wollen wir nun eine Nachricht mit dem öffentlichen Schlüssel verschlüsseln, so das sie also nur noch für den Empfänger mit dem entsprechenden privaten Schlüssel zu entschlüsseln ist, gehen wir folgendermassen vor:
+
+Wir kennen die beiden Zahlen des öffentlichen Schlüssels: 7 + 77
+
+Unsere zu verschlüsselnde Nachricht x: 45 (muss kleiner sein als N) 
+(Wie bereits in einem früheren Kapitel erwähnt sind solche öffentliche Schlüssel Primzahlen mit mehreren hundert Stellen, somit ist diese Regel im Normalfall irrelevant. Da wir aber in unserem Beispiel keine so grossen Primzahlen verwenden müssen wir diesen Punkt beachten um sicherzustellen das wir auch ein korrektes Ergebnis erhalten.)
+
+Die Nachricht wird nun mit folgender Formel verschlüsselt: 
+\begin{align*}
+y & = x ^a mod n \\
+y & = 45^43 mod 77 \\
+y & = 45 \\
+\end{align*}
+
+\subsection{Die Übermittlung}
+TODO: Muss ergänzt werden.
+
+45 (y) ist nun also unsere Verschlüsselte Nachricht, welche nun an den Empfänger übermittelt wird.
+
 \section{Entschlüsselung}
-Hallo Dies ist ein Test
+Um die Nachricht zu entschlüsseln muss zuerst d errechnet werden, dies geschieht mithilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus. Diese Berechnung wurde bereits im Kapitel Schlüsselerzeugung erledigt.
+Unsere gesuchte Zahl lautet demnach 43 (d)
+
+Da nun alle benötigten Variablen bekannt sind kann die Nachricht mit folgender Formel entschlüsselt werden.
+\begin{align*}
+x & = y ^d mod n \\
+x & = 45^43 mod 77 \\
+x & = 45 \\
+\end{align*}
 
 \section{Schwachstellen}
 Hallo Dies ist ein Test