\documentclass{math_rsa}
\title{Einführung zu RSA}
\date{\today}
\author{Andreas Zweili, Ismail Cadaroski, Ivan Hörler, Michael Stratighiou}
%\institute{}
% \titlegraphic{\hfill\includegraphics[height=1.5cm]{logo.pdf}}
\numberwithin{equation}{subsection} % IH | Formelnummerierung mit Section Nummer kombiniert

\begin{document}

\begin{titlepage}
\maketitle
\thispagestyle{empty}
\end{titlepage}

\tableofcontents
\newpage

\section{Einführung}

Diese Arbeit wird eine Einführung zu dem Verschlüsselungsalgorithmus RSA geben.
Anhand von vereinfachten Rechnungen wird die Funktion des Algorthmus
veranschaulicht und erklärt. In der Realität sind die verwendeten Zahlen jedoch
um ein x-faches grösser. Die nachfolgende Zahl ist 1024 Bit gross. Der Leser
kann sich also ungefähr vorstellen wie gross die Zahlen sind wenn die heutige
empfohlene Grösse bei 4096 Bit liegt.

\begin{sexylisting}{RSA-1024 Primzahl}
13506641086599522334960321627880596993888147560566
70275244851438515265106048595338339402871505719094
41798207282164471551373680419703964191743046496589
27425623934102086438320211037295872576235850964311
05640735015081875106765946292055636855294752135008
52879416377328533906109750544334999811150056977236
890927563
\end{sexylisting}

\subsection{Geschichte}

Im Jahre 1976 wurde von Whitfield Diffie und  Martin Hellman eine
Theorie zu Publickey-Kryptographie veröffentlicht. In welcher sie ein Konzept
Namens "Falltür" präsentieren. Dabei handelt es sich um mathematische Probleme
welche in eine Richtung sehr aufwändig und in die andere Richtung viel einfacher
zu lösen sind.

Ronald L. Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman wollten nach der
Veröffentlichung der Theorie von Herrn Diffie und Herrn Hellman beweisen das 
solche Falltüren nicht existieren. Dabei entdeckten sie jedoch genau solch eine
Falltür daraus entwickelten sie dann den RSA Algorithmus welchen sie 1977
vorstellten. RSA steht dabei für die Anfangsbuchstaben ihrer Familiennamen. 

Im Jahre 2002 erhielten sie den Turing-Award für ihre Arbeit auf dem Gebiet der
Kryptographie. Welcher oft als Nobel Preis für Informatik bezeichnet wird.

\subsection{Verwendung}

RSA wird heute in eine Vielzahl an Programmen eingesetzt. Von besonderer
Wichtigkeit sind hier folgende Systeme zu Erwähnen.

\textbf{Bankkarten nach dem EMV Standard}

Dieser Standard definiert wie der Chip auf den Karten zu funktionieren hat und 
wie die Authentifizierung gegenüber den Bankautomaten funktioniert.

\textbf{HTTPS (TLS und X.509-Zertifikate)}

HTTPS garantiert das die Zugriffe auf Website welche es unterstützen,
vor Manipulationen sowie Spionage von Unbefugten geschützt sind. Dies ist
insbesondere bei eBanking oder Websiten mit Logins essentiel wichtig. Ansonsten
ist es ein Leichtes Konten zu übernehmen.

\textbf{SSH (Secure Shell)}

SSH ist ein Protokoll mit welchem man remote auf Unix Systeme Zugreifen kann.
Am häufigsten wird es genutzt zur Administrierung von Servern oder zur
Übertragung von Dateien.

\textbf{OpenPGP}

OpenPGP ist ein Verschlüsselungsverfahren welches hauptsächlich bei der
Verschlüsselung von Emails verwendet wird. Abseits davon wird es auch zur
Signierung von Dateien eingesetzt.


Zusätzlich sollte noch erwähnt werden das RSA in den meisten Fällen nicht
alleine eingesetzt wird da die Performance von RSA im Vergleich zu symetrischen
Verfahren sehr viel schlechter ist. Deshalb wird RSA oftmals nur zum
Schlüsseltausch eingesetzt und eine symetrische Verschlüsselung zum
Verschlüsseln der eigentlichen Daten.


\begin{center}
  \includegraphics[width=360pt]{Bilder/RSA-verschluesselungs-Vorgang.png}
\end{center}


\section{Öffentlicher und Privater Schlüssel}




TODO:
Sind das wirklich alles Sections? Ich habe sie jetzt mal in Subsections
geändert. Ist evtl. eher Fett gemeint?
Ismail was hast du hier gemeint? Ist der Titel dieses Kapitels korrekt?



\subsection{Schlüsselkontruktion}
% -------------------------------------------   Makro Definitionen  -------------------------------------------  
\def\pq{\textit{p} \cdot \textit{q}}
\def\m{\varphi (\textit{p}\cdot\textit{q})} 					% IH | ich definiere ein Makro das mit "m" heist und mit \m aufgerufen werden kann.
\def\varphipxphiq{\varphi \textit{(p)} \cdot \varphi\textit{(q)}} 	% IH | ich definiere "phi p x phi q"  \varphipxphiq 
\def\pmineinsxqmineins{(\textit{p}-1) \cdot (\textit{q}-1)} 		% IH | ich definiere "p min eins x q min eins" \pmineinsxqmineins 
% -------------------------------------------   Makro Definitionen  -------------------------------------------  

\textit{N} = Privatschlüssel \; \textit{p} = primzahl \; \textit{q} = primzahl \\
\textit{e} = Teilerfremder Wert \; \textit{d} = modular inverse   \\
\textit{N} = 77 \; \textit{p} = 7 \; \textit{q} = 11 \; \textit{e} = 7 \; \textit{d} = 43

Es werden zwei verschiedene Primzahlen 7 und 11 gewählt und das Produkt daraus
gerechnet.

Gleichung  erstellen nach :

\subsection{Konstruktion \textit{N}}
\begin{align*}
	\textit{N} & = \pq  \\
	77 & = 7 \cdot 11 \\
	N &  = 77 \\
\end{align*}
  
\subsection{Konstruktion \textit{m}}

\begin{align*}
\varphi \textit{(N)} & = \m \\
\varphi \textit{(N)} & = \varphipxphiq \\
\varphi \textit{(N)} & =  \pmineinsxqmineins \\
\varphi \textit{(N)} & = (7-1) \cdot (11-1) \\
\varphi \textit{(N)} & = 60 
\end{align*}


\subsection{Konstruktion \textit{(e)}}
Wir bestimmen eine zu \textit{m} = 60 teilerfremde Zahl 
\textit{e} < \textit{N} -> 7 \\

\begin{align*}
Platzhalter
\end{align*}

\subsection{Konstruktion \textit{d} }
Um \textit{d} zu Konstruieren müssen wir den erweiterten euklidischen Algorithmus mit m anwenden

\begin{align}
60 & = 8 \cdot 7 + 4\\ % IH | frage an Ismail: wo her kommt die 8 und die 4? Da verstehe ich die Rechnung nicht...
 7 & = 1 \cdot 4 + 3\\
 4 & = 1 \cdot 3 + 1 \label{eq:bspd1}\\ % IH | Labels können mit \ref{} dynamisch wieder aufgerufen werden
 3 & = 3 \cdot 1 + 0
\end{align}

Danach verwenden wir Formelnr. \ref{eq:bspd1} und formen die Gleichung nach 1 um

\begin{align*}
1 & = 4 - 1 \cdot 3 \\
1 & = 4 - 1 \cdot ( 7- 1 \cdot 4)\\
1 & = 4 - 1 \cdot 7 + 1 \cdot 4\\
1 & =(-1) \cdot 7 + 2 \cdot 4 \\
1 & = (-1) \cdot 7 + 2 \cdot (60-8 \cdot 7)\\
1 & = 2 \cdot 60 -17 \cdot 7  \, (mod)\\
1 & = 43 \cdot 7 \, mod 60  \, (60 - 17 = 43)\\
1 & = \textit{d} ^\textit{e} \, mod \, \textit{n}  \,  \slash \, ( \, Umformen \, nach \, \textit{d} \, )\\   
% IH | in Formeln werden leerzeichen ignoriert darum kann mit " \, " , " \: " , " \; " erstellt einen "schmalen", "mittleren" und "breiten" Leerschlag. Es geht auch mit \thinspace, \medspace oder \thickspace...
\textit{d} & = 7^{-1} \, mod \, 60 \\ 
 \textit{d} & = 43
\end{align*}

\section{Verschlüsselung}
Im Beispiel der Schlüsselkonstruktion werden die Variablen e und N als öffentlicher Schlüssel festgelegt. Dieser wird benötigt um eine Nachricht für den dafür entsprechenden Empfänger zu verschlüsseln. Mit der daraus resultierenden Zahl sowie dem privaten Schlüssel, welcher aus den Variablen d und N besteht, kann die Nachricht wieder entschlüsselt werden. 

In unserem Beispiel lautet der private Schlüssel also: 43 + 77
und der öffentliche Schlüssel: 7 + 77

\subsection {Der eigentliche Akt der Verschlüsselung}
Wollen wir nun eine Nachricht mit dem öffentlichen Schlüssel verschlüsseln, so das sie also nur noch für den Empfänger mit dem entsprechenden privaten Schlüssel zu entschlüsseln ist, gehen wir folgendermassen vor:

Wir kennen die beiden Zahlen des öffentlichen Schlüssels: 7 + 77

Unsere zu verschlüsselnde Nachricht x: 45 (muss kleiner sein als N) 
(Wie bereits in einem früheren Kapitel erwähnt sind solche öffentliche Schlüssel Primzahlen mit mehreren hundert Stellen, somit ist diese Regel im Normalfall irrelevant. Da wir aber in unserem Beispiel keine so grossen Primzahlen verwenden müssen wir diesen Punkt beachten um sicherzustellen das wir auch ein korrektes Ergebnis erhalten.)

Die Nachricht wird nun mit folgender Formel verschlüsselt: 
\begin{align*}
y & = x ^a mod n \\
y & = 45^43 mod 77 \\
y & = 45 \\
\end{align*}

\subsection{Die Übermittlung}
TODO: Muss ergänzt werden.

45 (y) ist nun also unsere Verschlüsselte Nachricht, welche nun an den Empfänger übermittelt wird.

\section{Entschlüsselung}
Um die Nachricht zu entschlüsseln muss zuerst d errechnet werden, dies geschieht mithilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus. Diese Berechnung wurde bereits im Kapitel Schlüsselerzeugung erledigt.
Unsere gesuchte Zahl lautet demnach 43 (d)

Da nun alle benötigten Variablen bekannt sind kann die Nachricht mit folgender Formel entschlüsselt werden.
\begin{align*}
x & = y ^d mod n \\
x & = 45^43 mod 77 \\
x & = 45 \\
\end{align*}

\section{Schwachstellen}
Obwohl schon einige verkündet haben die RSA Verschlüsselung geknackt zu haben ist es bisher noch niemandem gelungen einer Überprüfung stand zu halten. Es gibt aber durchaus realistische ideen wie der Code zerbrochen werden kann, nachgehend stellen wir die Wichtigsten Methoden vor.

\subsection{Brut-force}
Die Methode alle möglichen Primzahlen von $\varphi=\pmineinsxqmineins$ auszuprobieren gilt als nicht einfacher als  \textit{N} zu Faktorisieren.

\subsection{Fakturierung durch die Kenntnis von  \textit{N}  }
Weil die Faktoren von  \textit{N} den $\varphi$\textit{N} ermitteln lassen kann auch  \textit{d} ermittelt werden. 
Die Erfinder RSA selbst, berechneten anhand eines Algorithmus von Richard Schroeppel und der Annahme das ein Annäherungsschritt 1ms benötigt die Zerlegung von:

\begin{center}
  \begin{tabular}{| l | l | l |} % >{\( }c<{ \)}
  \hline
  \textbf{Zeichen} 			& \textbf{Operationen}					& \textbf{Zeit} \\
  50						& $1.4 \cdot 10^10$					& 3.9 Stunden \\
  75						& $9.0 \cdot 10^12$					& 104 Tage \\
  100					& $2.3 \cdot 10^15$					& 74 Jahre \\
  200					& $1.2 \cdot 10^23$					& $3.8 \cdot 10^9$ Jahre \\
  \hline
  \end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item Diese Berechnungen der Entschlüsselungs-Zeiten sind überholt. (stand 1978)

  \item 1996 schreibt der Prof. Johannes Buchmann von der Universität Saarbrücken das ein Parallelisiertes Netz von 250 Rechnern auf dem Campusareal für eine 130 Stellige 		Zahl mehrere Wochen benötigt und sich mit mit drei zusätzlichen Dezimalstellen verdoppelt.

  \item 2003 veröffentlichte Adi Shamir und Eran Tromer einen technischen Report wie ein RSA Schlüssel von 1024 bit in unter einem Jahr gebrochen werden kann. \cite{ref10} % <-- bibtex Link
\end{enumerate}

\textbf{Diese drei Beispiele zeigen auf wie unvorhersehbar die Standhaftigkeit eines Schlüssels in Bezug auf Zeit ist. }

Die Formel zur Zerlegung von $\varphi$\textit{N} lautet: 
\begin{equation}
	\varphi=2 \cdot kgV\left(\frac{p-1} {2} , \frac{q-1}{2}\right)
\end{equation}

\subsection{Berechnung von $\varphi$\textit{N} ohne Fakturierung von  \textit{N} }
Natürlich lässt sich $\varphi$\textit{N} auch ohne Fakturierung von \textit{N} ermitteln wenn \textit{d} bekannt ist oder ermittelt werden kann.
Da \textit{d} jedoch ein multiplikator von $\varphi$\textit{N} ist, ist sein wert nicht leichter zu ermitteln als die Fakturierung von  \textit{N} ist.
%IH | Ivan, check ob die Formel auch stimmt sobald Ismail die Section Konstruktion von "d" fertig hat!

\subsection{zu kleine Multiplikator-Primzahlen}
Da die Sicherheit von RSA darauf beruht dass die Fakturierung von Primzahlen Zeit benötigt, ist sie auch nur 
so stark wie die Grösse der Primzahl  \textit{q} die Multipliziert mit  \textit{p} den Modulus ergibt. Ist  \textit{q} oder  \textit{p} kleiner als 100 Stellen, wird daraus nicht ein Schlüssel $>10^200$ entstehen und damit die Verschlüsselung zwar schneller geschehen aber sie ist auch gefährdeter durch Brute-force Attacken oder Fakturierung zerlegt zu werden.

\subsection{Gleiche $\varphi$ \textit{N} }
%IH | ist das je wirklich der Fall? 

\subsection{Riehmann hypotese }
Die Riehmann Hypothese beschreibt ein bisher ungelöstes Mathematisches Problem.
Sollte sich die Theorie der Reihmann Hypothese bewarheiten könnten daraus Primzahlen abgeleitet werden auf dessen Basis die Zerlegung von \textit{N} einfacher und schneller ausgeführt werden kann. 

\subsection{Social Engineering}
Durch das Abfangen einer Nachricht kann ein Angreifer damit noch nichts anfangen da sie mit dem Schlüssel des Empfängers Verschlüsselt ist. Möchte er diese nun entschlüsseln muss er an den Schlüssel des Empfängers kommen. Dazu kann er die Datei wiederum mit einem Ihm bekannten Schlüssel verschlüsseln und sie dem Empfänger erneut und gegebenenfalls unter Verschleierung seiner Identität zustellen. Dieser wird nun die Datei mit seinem Schlüssel entschlüsseln und nichts damit anfangen können da sie immer noch mit dem Schlüssel des Angreifers verschlüsselt ist. Bringt nun der Angreifer durch Geschick den Empfänger dazu Ihm diese entschlüsselte vermeintlich defekte Datei zuzusenden kann er sie mit seinem Schlüssel entschlüsseln und den Inhalt lesen.
% IH | Ivan finde heraus ob auch der Schlüssel gefunden werden kann...

\newpage
\section{Referenzen}
  \nocite{*}
  \bibliographystyle{plain}
  \bibliography{bib}
  
\end{document}
