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@ -0,0 +1,15 @@
% abspann
%-------------------------------------------------------------------
\newpage
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{\fill}
\line(1,0){400} \\ [4mm]
\Large{\textsc{this Document is Typset with}} \\ [3mm]
\textrm{\Huge\LaTeX{}} \\ [1mm]
\line(1,0){400}\\
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\end{center}
% Dokumentende
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@ -9,26 +9,20 @@
%-------------------------------------------------------------------
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%\usepackage{showframe} %border der Bereiche anzeigen
\begin{document}
\begin{titlepage}
\maketitle
\thispagestyle{empty}
\end{titlepage}
\tableofcontents
\newpage
\section{Einführung}
Diese Arbeit wird eine Einführung zu dem Verschlüsselungsalgorithmus RSA geben.
Anhand von vereinfachten Rechnungen wird die Funktion des Algorthmus
Diese Arbeit gibt eine Einführung zu dem Verschlüsselungsalgorithmus RSA.
Anhand von vereinfachten Rechnungen wird die Funktion des Algorithmus
veranschaulicht und erklärt. In der Realität sind die verwendeten Zahlen jedoch
um ein x-faches grösser. Die nachfolgende Zahl ist 1024 Bit gross. Der Leser
kann sich also ungefähr vorstellen wie gross die Zahlen sind wenn die heutige
empfohlene Grösse bei 4096 Bit liegt.
um ein X-faches grösser. Die nachfolgende Zahl ist 1024 Bit gross. Der Leser
kann sich also ungefähr vorstellen wie gross die Zahlen sind, wenn die heutige
empfohlene Grösse bei 4096 Bit liegt.\\[2em]
\begin{sexylisting}{RSA-1024 Primzahl}
13506641086599522334960321627880596993888147560566
70275244851438515265106048595338339402871505719094
@ -38,75 +32,54 @@ empfohlene Grösse bei 4096 Bit liegt.
52879416377328533906109750544334999811150056977236
890927563
\end{sexylisting}
\subsection{Geschichte}
Im Jahre 1976 wurde von Whitfield Diffie und Martin Hellman eine Theorie zu
Publickey-Kryptographie veröffentlicht \cite{ref4}. In welcher sie ein Konzept
Namens ``Falltür'' präsentieren. Dabei handelt es sich um mathematische Probleme
Im Jahre 1976 wurde von Whitfield Diffie und Martin Hellman eine Theorie zur
Publickey-Kryptographie veröffentlicht \cite{ref4}, in welcher sie ein Konzept
namens ``Falltür'' präsentieren. Dabei handelt es sich um mathematische Probleme,
welche in eine Richtung sehr aufwändig und in die andere Richtung viel einfacher
zu lösen sind.
zu lösen sind.\\[2em]
Ronald L. Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman wollten nach der
Veröffentlichung der Theorie von Herrn Diffie und Herrn Hellman beweisen das
Veröffentlichung der Theorie von Herrn Diffie und Herrn Hellman beweisen, dass
solche Falltüren nicht existieren. Dabei entdeckten sie jedoch genau solch eine
Falltür Daraus entwickelten sie dann den RSA Algorithmus welchen sie 1977
Falltür. Daraus entwickelten sie dann den RSA Algorithmus welchen sie 1977
vorstellten \cite{ref5}. RSA steht dabei für die Anfangsbuchstaben ihrer
Familiennamen.
Familiennamen.\\[2em]
Im Jahre 2002 erhielten sie den Turing-Award für ihre Arbeit auf dem Gebiet der
Kryptographie. Welcher oft als Nobel Preis für Informatik bezeichnet wird.
Kryptographie, welcher oft als Nobelpreis der Informatik bezeichnet wird.
\subsection{Verwendung}
RSA wird heute in eine Vielzahl an Programmen eingesetzt. Von besonderer
Wichtigkeit sind hier folgende Systeme zu Erwähnen.
\textbf{Bankkarten nach dem EMV Standard}
Dieser Standard definiert wie der Chip auf den Karten zu funktionieren hat und
RSA wird heute in einr Vielzahl von Programmen eingesetzt. Von besonderer
Wichtigkeit sind hier folgende Systeme zu erwähnen.
\subsubsection{Bankkarten nach dem EMV Standard}
Dieser Standard definiert, wie der Chip auf den Karten zu funktionieren hat und
wie die Authentifizierung gegenüber den Bankautomaten funktioniert.
\textbf{HTTPS (TLS und X.509-Zertifikate)}
HTTPS garantiert das die Zugriffe auf Website welche es unterstützen, vor
\subsubsection{HTTPS (TLS und X.509-Zertifikate)}
HTTPS garantiert, dass die Zugriffe auf Websites, welche es unterstützen, vor
Manipulationen sowie Spionage von Unbefugten geschützt sind. Dies ist
insbesondere bei eBanking oder Websiten mit Logins essentiel wichtig. Ansonsten
ist es ein Leichtes Konten zu übernehmen.
\textbf{SSH (Secure Shell)}
\subsubsection{SSH (Secure Shell)}
SSH ist ein Protokoll mit welchem man remote auf Unix Systeme Zugreifen kann.
Am häufigsten wird es genutzt zur Administrierung von Servern oder zur
Übertragung von Dateien.
\textbf{OpenPGP}
OpenPGP ist ein Verschlüsselungsverfahren welches hauptsächlich bei der
\subsubsection{OpenPGP}
OpenPGP ist ein Verschlüsselungsverfahren, welches hauptsächlich bei der
Verschlüsselung von Emails verwendet wird. Abseits davon wird es auch zur
Signierung von Dateien eingesetzt.
Zusätzlich sollte noch erwähnt werden das RSA in den meisten Fällen nicht
alleine eingesetzt wird da die Performance von RSA im Vergleich zu symetrischen
Signierung von Dateien eingesetzt.\\[2em]
Zusätzlich sollte noch erwähnt werden, dass RSA in den meisten Fällen nicht
alleine eingesetzt wird, da die Performance von RSA im Vergleich zu symetrischen
Verfahren sehr viel schlechter ist. Deshalb wird RSA oftmals nur zum
Schlüsseltausch eingesetzt und eine symetrische Verschlüsselung zum
Verschlüsseln der eigentlichen Daten.
\begin{center}
\includegraphics[width=360pt]{Bilder/RSA-verschluesselungs-Vorgang.png}
\end{center}
\newpage
\section{Öffentlicher und Privater Schlüssel}
\section{Öffentlicher und privater Schlüssel}
Als erster Schritt muss ein öffentlicher und privater Schlüssel (sozusagen ein
Schlüsselpaar), konstruiert werden. Dazu wählen wir 2 zwei zufällige Primzahlen
Schlüsselpaar), konstruiert werden. Dazu wählen wir zwei zufällige Primzahlen,
die wir in unserem Beispiel der Einfachheit halber klein halten und fangen mit
der Konstruktion an.
\subsection{Schlüsselkontruktion}
% Pfeilbeispiel -------------------------------------------
% tikzmark command
\newcommand{\tikzmark}[2]{%
@ -122,7 +95,6 @@ der Konstruktion an.
% \tikz[overlay,remember picture]{\draw[blue,thick,->] (sums.north) to [bend left=0] node[anchor=south]{$ $}(b.south);}
% \tikz[overlay,remember picture]{\draw[blue,thick,->] (sum.north) to [bend left=0] node[anchor=south]{$ $}(c.south);}
%% Pfeilbeispiel -------------------------------------------
% ------------------------------------------- Makro Definitionen -------------------------------------------
\def\pq{\textit{p} \cdot \textit{q}}
\def\m{\varphi (\textit{p}\cdot\textit{q})} % IH | ich definiere ein Makro das mit "m" heist und mit \m aufgerufen werden kann.
@ -135,16 +107,16 @@ In den folgenden Seiten berechnen wir : \\
\textit{p} = Primzahl \\
\textit{q} = Primzahl \\
\textit{e} = Öffentlicher Verschlüsselungsexponent \\
\textit{d} = Privater Verschlüsselungsexponent \\
\ Wobei $\textit{e}+\textit{N}$ den öffentlichen und $\textit{d}+\textit{N}$
den privaten Schlüssel bilden. \\
\textit{d} = Privater Verschlüsselungsexponent \\
\begin{center}
Wobei $\textit{e}+\textit{N}$ den öffentlichen und $\textit{d}+\textit{N}$
den privaten Schlüssel bilden.
\end{center}
\subsection{Konstruktion \textit{N}}
Es werden zwei verschiedenen Primzahlen, die der Hersteller des Schlüssels
Es werden zwei verschiedene Primzahlen, die der Hersteller des Schlüssels
selbst wählt, \textit{p} = 7 und \textit{q} = 11 verwendet und das Produkt aus
diesen beiden Werten berechnet. Dieses Resultat \textit{N} wird ein wichtiger
Anteil, welchen wir beim erstellen des privaten sowie des öffentlichen
Bestandteil, welchen wir beim Erstellen des privaten, sowie des öffentlichen
Schlüssels wieder verwenden werden.
\begin{center}
\fbox{%
@ -165,12 +137,11 @@ Beispiel:
\end{minipage}%
}
\end{center}
\subsection{Konstruktion \textit{m}}
Danach rechnen wir Phi von \textit{N} um die Anzahl der teilerfremden Zahlen zu
berechnen. Da \textit{p} und \textit{q} Primzahlen sind wissen wir das Phi von
Danach rechnen wir Phi von \textit{N}, um die Anzahl der teilerfremden Zahlen zu
berechnen. Da \textit{p} und \textit{q} Primzahlen sind, wissen wir, dass Phi von
\(\textit{p}=\textit{p}-1\) und Phi von \(\textit{q}=\textit{q}-1\) ist und
erhalten als Phi von \textit{N} = 60 = \textit{m}.
erhalten als Phi v. \textit{N} = 60 = \textit{m}.
\begin{center}
\fbox{%
\begin{minipage}[t]{0.3\textwidth}
@ -196,10 +167,10 @@ Beispiel:
}
\end{center}
\subsection{Konstruktion \textit{e}}
Wir bestimmen eine zu \textit{m} = 60 teilerfremde Primzahl die grösser 1, aber
Wir bestimmen eine zu \textit{m} = 60 teilerfremde Primzahl, die grösser 1, aber
kleiner \textit{m} sein muss. Wir nehmen in unserem Beispiel \textit{e} = 7.
\subsection{Konstruktion \textit{d}}
Um die Nachricht zu entschlüsseln werden wir \textit{d} brauchen. Da $\textit{e} \cdot \textit{d} \ mod \ \textit{m} = 1$ ist muss d aus der Gleichung ausoperiert werden. Dies geschieht mit dem erweiterten euklidischem Algorithmus und wird in der nachgehenden Tabelle Schritt für Schritt durchgerechnet.
Um die Nachricht zu entschlüsseln, werden wir \textit{d} brauchen. Da $\textit{e} \cdot \textit{d} \ mod \ \textit{m} = 1$ ist, muss d aus der Gleichung ausoperiert werden. Dies geschieht mit dem erweiterten, euklidischem Algorithmus und wird in der nachgehenden Tabelle Schritt für Schritt durchgerechnet.
\begin{center}
\fbox{%
\begin{minipage}[t]{0.95\textwidth}
@ -253,28 +224,23 @@ Beispiel:
\newpage
\section{Verschlüsselung}
Im Beispiel der Schlüsselkonstruktion werden die Variablen \textit{e} und \textit{N} als
öffentlicher Schlüssel festgelegt. Dieser wird benötigt um eine Nachricht für
öffentlicher Schlüssel festgelegt. Dieser wird benötigt, um eine Nachricht für
den dafür entsprechenden Empfänger zu verschlüsseln. Mit der daraus
resultierenden Zahl sowie dem privaten Schlüssel, welcher aus den Variablen \textit{d}
und \textit{N} besteht, kann die Nachricht wieder entschlüsselt werden. \\
\\
resultierenden Zahl, sowie dem privaten Schlüssel, welcher aus den Variablen \textit{d}
und \textit{N} besteht, kann die Nachricht wieder entschlüsselt werden. \\[2em]
In unserem Beispiel lautet der private Schlüssel also: \(43+77\)\\
und der öffentliche Schlüssel: \(7+77\)
\subsection {Der eigentliche Akt der Verschlüsselung}
Wollen wir nun eine Nachricht mit dem öffentlichen Schlüssel verschlüsseln, so
das sie nur noch für den Empfänger mit dem entsprechenden privaten
Schlüssel zu entschlüsseln ist, gehen wir folgendermassen vor:
Wir kennen die beiden Zahlen des öffentlichen Schlüssels: \(7+77\)
dass sie nur noch für den Empfänger mit dem entsprechenden privaten
Schlüssel zu entschlüsseln ist, gehen wir folgendermassen vor:\\[2em]
Wir kennen die beiden Zahlen des öffentlichen Schlüssels: \(7+77\)\\[2em]
Unsere zu verschlüsselnde Nachricht x: 47 (muss kleiner sein als \textit{N})
(Wie bereits in einem früheren Kapitel erwähnt sind solche öffentliche
Wie bereits in einem früheren Kapitel erwähnt sind solche öffentlichen
Schlüssel Primzahlen mit mehreren hundert Stellen, somit ist diese Regel im
Normalfall irrelevant. Da wir aber in unserem Beispiel keine so grossen
Primzahlen verwenden müssen wir diesen Punkt beachten um sicherzustellen das
wir auch ein korrektes Ergebnis erhalten.)
Primzahlen verwenden, müssen wir diesen Punkt beachten, um sicherzustellen dass
wir auch ein korrektes Ergebnis erhalten.\\[2em]
Die Nachricht wird nun mit folgender Formel verschlüsselt:
\begin{center}
\fbox{%
@ -296,17 +262,15 @@ Beispiel:
\end{minipage}%
}\\[-1em]
\end{center}
75 (\textit{y}) ist unsere Verschlüsselte Nachricht, welche an den Empfänger
75 (\textit{y}) ist unsere verschlüsselte Nachricht, welche an den Empfänger
übermittelt wird.
\newpage
\section{Entschlüsselung}
Um die Nachricht zu entschlüsseln muss zuerst \textit{d} errechnet werden, dies geschieht
mithilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus. Diese Berechnung wurde
Um die Nachricht zu entschlüsseln, muss zuerst \textit{d} errechnet werden, dies geschieht
mit hilfe des erweiterten, euklidischen Algorithmus. Diese Berechnung wurde
bereits im Kapitel 2.5 erledigt.
Unsere gesuchte Zahl lautet demnach 47 (\textit{d})
Da nun alle benötigten Variablen bekannt sind kann die Nachricht mit folgender
Unsere gesuchte Zahl lautet demnach 47 (\textit{d})\\[2em]
Da nun alle benötigten Variablen bekannt sind, kann die Nachricht mit folgender
Formel entschlüsselt werden.
\begin{center}
\fbox{%
@ -329,18 +293,18 @@ Beispiel:
}\\[-5em]
\end{center}
\section{Schwachstellen}
Obwohl schon einige verkündet haben die RSA Verschlüsselung geknackt zu haben
Obwohl schon einige verkündet haben, die RSA Verschlüsselung geknackt zu haben,
ist es bisher noch niemandem gelungen einer Überprüfung stand zu halten. Es gibt
aber durchaus realistische Ideen wie die Verschlüsselung gebrochen werden kann,
nachgehend stellen wir die Wichtigsten Methoden vor.
nachgehend stellen wir die wichtigsten vor.
\subsection{Brute-force}
Also die Methode alle möglichen Primzahlen von $\varphi=\pmineinsxqmineins$
auszuprobieren. Gilt als nicht einfacher als \textit{N} direkt zu faktorisieren.
Die Methode, alle möglichen Primzahlen von $\varphi=\pmineinsxqmineins$
auszuprobieren, gilt als nicht einfacher, als \textit{N} direkt zu faktorisieren.
\subsection{Fakturierung durch die Kenntnis von \textit{N}}
Weil die Faktoren von \textit{N} $\varphi$\textit{(N)} ermitteln lassen kann
auch \textit{d} ermittelt werden. Die Erfinder von RSA selbst, berechneten anhand
eines Algorithmus von Richard Schroeppel und der Annahme das ein
Annäherungsschritt 1ms benötigt die Zerlegung von:
Weil die Faktoren von \textit{N} $\varphi$\textit{(N)} ermitteln lassen, kann
\textit{d} ermittelt werden. Die Erfinder von RSA berechneten, anhand
eines Algorithmus von Richard Schroeppel und der Annahme, dass ein
Annäherungsschritt 1ms benötigt, die Zerlegung von:
\begin{center}
\begin{tabular}{| l | l | l |} % >{\( }c<{ \)}
\hline
@ -352,63 +316,60 @@ Annäherungsschritt 1ms benötigt die Zerlegung von:
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Wobei zu beachten ist das:
Wobei zu beachten ist, dass:
\begin{enumerate}
\item Diese Berechnungen der Entschlüsselungs-Zeiten sind überholt.
\item Diese Berechnungen der Entschlüsselungs-Zeiten überholt sind.
(stand 1978)
\item 1996 schreibt der Prof. Johannes Buchmann von der Universität
Saarbrücken das ein Parallelisiertes Netz von 250 Rechnern auf dem
Campusareal für eine 130 Stellige Zahl mehrere Wochen benötigt und sich
\item 1996 schreibt Prof. Johannes Buchmann von der Universität
Saarbrücken, dass ein parallelisiertes Netz von 250 Rechnern auf dem
Campusareal für eine 130 stellige Zahl mehrere Wochen benötigt und sich
mit mit drei zusätzlichen Dezimalstellen verdoppelt.
\item 2003 veröffentlichte Adi Shamir und Eran Tromer einen technischen Report
\item 2003 veröffentlichte Adi Shamir und Eran Tromer einen technischen Report,
wie ein RSA Schlüssel von 1024 bit in unter einem Jahr gebrochen werden
kann. \cite{ref10} % <-- bibtex Link
\item Anfang 2017 mutmasste das Forschungs-Journal nature.com über den
Status der Entwicklung von Quanten Komputern und dass deren Schritt aus dem Labor
\item Anfang 2017 mutmasste das Forschungs-journal nature.com über den
Status der Entwicklung von Quantencomputern und dass deren Schritt aus dem Labor
für dieses Jahr Realität werden könnte. Da diesen Rechnergenerationen eine
überproportionale Beschleunigung nachgewiesen wurde kann dies der RSA-
überproportionale Beschleunigung nachgewiesen wurde, kann dies der RSA-
Verschlüsselung schaden. \cite{ref11}
\end{enumerate}
\textbf{Diese vier Beispiele zeigen auf wie unvorhersehbar die Standhaftigkeit
\textbf{Diese vier Beispiele zeigen auf, wie unvorhersehbar die Standhaftigkeit
eines Schlüssels in Bezug auf Zeit ist. }
Gemäss Adi Shamir lautet die Formel zur Zerlegung von $\varphi$\textit{(N)}:
\begin{equation*}
\varphi=2 \cdot kgV\left(\frac{\textit{p}-1} {2} , \frac{\textit{q}-1}{2}\right)
\end{equation*}
\subsection{zu kleine Multiplikator-Primzahlen}
Da die Sicherheit von RSA darauf beruht dass die Fakturierung von Primzahlen
\subsection{Zu kleine Multiplikatorprimzahlen}
Da die Sicherheit von RSA darauf beruht, dass die Fakturierung von Primzahlen
Zeit benötigt, ist sie auch nur so stark wie die Grösse der Primzahl \textit{q}
die Multipliziert mit \textit{p} den Modulus ergibt. Ist \textit{q} oder
die multipliziert mit \textit{p} den Modulus ergibt. Ist \textit{q} oder
\textit{p} kleiner als 100 Stellen, wird daraus nicht ein Schlüssel $>10^{200}$
entstehen und damit die Verschlüsselung zwar schneller geschehen aber sie ist
auch gefährdeter durch Brute-force Attacken oder Fakturierung geknackt zu werden.
\subsection{Riehmann Hypotese}
Die Riehmann Hypothese beschreibt ein bisher ungelöstes Mathematisches Problem.
\subsection{Die Riehmann Hypothese}
Die Riehmann Hypothese beschreibt ein bisher ungelöstes mathematisches Problem.
Sollte sich die Theorie der Riehmann Hypothese bewarheiten könnten daraus
Primzahlen abgeleitet werden auf dessen Basis die Zerlegung von \textit{N}
Primzahlen abgeleitet werden auf deren Basis die Zerlegung von \textit{N}
einfacher und schneller ausgeführt werden kann.
\subsection{Social Engineering 1}
Die direkteste Methode an einen Teil oder den ganzen Schlüssel zu gelangen ist
das Hacken oder Stehlen. Einerseits kann dies mittels Trojaner oder dann
direkt mit entwenden der Schlüssel vom Zielgerät geschehen.
direkt durch entwenden der Schlüssel vom Zielgerät geschehen.
\subsection{Social Engineering 2}
Eine weitere Methode ist das Täuschen durch nachfolgendem Beispiel:
Durch das Abfangen einer Nachricht kann ein Angreifer damit noch nichts anfangen
da sie mit dem Schlüssel des Empfängers Verschlüsselt ist. Möchte er diese nun
entschlüsseln muss er an den Schlüssel des Empfängers kommen. Dazu kann er die
Datei wiederum mit einem Ihm bekannten Schlüssel verschlüsseln und sie dem
Eine weitere Methode ist das Täuschen durch nachfolgendes Beispiel:
Durch das Abfangen einer Nachricht kann ein Angreifer damit noch nichts anfangen,
da die Nachricht mit dem Schlüssel des Empfängers Verschlüsselt ist. Möchte er diese nun
entschlüsseln, muss er an den Schlüssel des Empfängers kommen. Dazu kann er die
Datei wiederum mit einem ihm bekannten Schlüssel verschlüsseln und sie dem
Empfänger erneut und gegebenenfalls unter Verschleierung seiner Identität
zustellen. Dieser wird nun die Datei mit seinem Schlüssel entschlüsseln und
zustellen. Der Empfänger wird nun die Datei mit seinem Schlüssel entschlüsseln und
nichts damit anfangen können da sie immer noch mit dem Schlüssel des Angreifers
verschlüsselt ist. Bringt nun der Angreifer durch Geschick den Empfänger dazu
Ihm diese entschlüsselte vermeintlich defekte Datei zuzusenden kann er sie mit
ihm diese entschlüsselte, vermeintlich defekte Datei zuzusenden, kann er sie mit
seinem Schlüssel entschlüsseln und den Inhalt lesen.
% IH | Ivan finde heraus ob auch der Schlüssel gefunden werden kann...
\newpage
\section{Referenzen}
\nocite{*}
\bibliographystyle{plain}
\bibliography{bib}
\include{latex}
\end{document}