erstellung einer Aufteilung des Blattes in Theorie und Beispielteil damit die einander gegenüber stehen.
This commit is contained in:
Ivan Hörler
parent
5b64d62df7
commit
bb7818bc99
211
main.tex
211
main.tex
|
|
@ -6,6 +6,11 @@
|
|||
% \titlegraphic{\hfill\includegraphics[height=1.5cm]{logo.pdf}}
|
||||
\numberwithin{equation}{subsection} % IH | Formelnummerierung mit Section Nummer kombiniert
|
||||
|
||||
% Developement Helpers
|
||||
%-------------------------------------------------------------------
|
||||
\fboxrule=0pt %border thickness der fboxes zum bearbeiten auf 1 setzten
|
||||
%\usepackage{showframe} %border der Bereiche anzeigen
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\begin{titlepage}
|
||||
|
|
@ -39,7 +44,7 @@ empfohlene Grösse bei 4096 Bit liegt.
|
|||
|
||||
Im Jahre 1976 wurde von Whitfield Diffie und Martin Hellman eine Theorie zu
|
||||
Publickey-Kryptographie veröffentlicht \cite{ref4}. In welcher sie ein Konzept
|
||||
Namens "Falltür" präsentieren. Dabei handelt es sich um mathematische Probleme
|
||||
Namens ``Falltür'' präsentieren. Dabei handelt es sich um mathematische Probleme
|
||||
welche in eine Richtung sehr aufwändig und in die andere Richtung viel einfacher
|
||||
zu lösen sind.
|
||||
|
||||
|
|
@ -123,7 +128,8 @@ Beispiel für Isi:
|
|||
\def\pq{\textit{p} \cdot \textit{q}}
|
||||
\def\m{\varphi (\textit{p}\cdot\textit{q})} % IH | ich definiere ein Makro das mit "m" heist und mit \m aufgerufen werden kann.
|
||||
\def\varphipxphiq{\varphi \textit{(p)} \cdot \varphi\textit{(q)}} % IH | ich definiere "phi p x phi q" \varphipxphiq
|
||||
\def\pmineinsxqmineins{(\textit{p}-1) \cdot (\textit{q}-1)} % IH | ich definiere "p min eins x q min eins" \pmineinsxqmineins
|
||||
\def\pmineinsxqmineins{(\textit{p}-1) \cdot (\textit{q}-1)} % IH | ich definiere "p min eins x q min eins" \pmineinsxqmineins
|
||||
\def\siebenmineinsxelfmineins{(7-1) \cdot (11-1)}
|
||||
% ------------------------------------------- Makro Definitionen -------------------------------------------
|
||||
In den folgenden Seiten berechnen wir : \\
|
||||
\textit{N} = Privatschlüsselanteil \\
|
||||
|
|
@ -136,26 +142,55 @@ den privaten Schlüssel bilden. \\
|
|||
|
||||
|
||||
\subsection{Konstruktion \textit{N}}
|
||||
Es werden zwei verschiedenen Primzahlen, die der Hersteller des Schlüssels selbst wählt, p = 7 und q = 11 verwendet (in Realen Fällen werden kompliziertere Zahlen gewählt, jedoch halten wir sie hier der einfachheit halber klein ) und das Produkt aus diesen beiden Werten berechnet. Dieses Resultat N wird ein wichtiger Anteil, den wir im Privat und Public Schlüssel brauchen werden.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\textit{N} & = \pq \\
|
||||
77 & = 7 \cdot 11 \\
|
||||
\textit{N} & = 77 \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Es werden zwei verschiedenen Primzahlen, die der Hersteller des Schlüssels selbst wählt, p = 7 und q = 11 verwendet (in Realen Fällen werden kompliziertere Zahlen gewählt, jedoch halten wir sie hier der einfachheit halber klein ) und das Produkt aus diesen beiden Werten berechnet. Dieses Resultat N wird ein wichtiger Anteil, den wir im Privat und Public Schlüssel brauchen werden.\\
|
||||
\\
|
||||
\fbox{%
|
||||
\begin{minipage}[t][25mm][t]{0.3\textwidth}
|
||||
Theorie:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\textit{N} & = \pq \\
|
||||
\\
|
||||
\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{minipage}%
|
||||
}
|
||||
\fbox{%
|
||||
\begin{minipage}[t][25mm][t]{0.3\textwidth}
|
||||
Beispiel:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
77 & = 7 \cdot 11 \\
|
||||
\textit{N} & = 77 \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{minipage}%
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Konstruktion \textit{m}}
|
||||
Danach rechnen wir Phi von N um die Anzahl der teilerfremden Zahlen zu
|
||||
berechnen. Da p und q Primzahlen sind wissen wir das Phi von \(p=p-1\) und Phi
|
||||
von \(q=q-1\) ist und erhalten als Phi von N = 60 = m .
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\varphi \textit{(N)} & = \m \\
|
||||
\varphi \textit{(N)} & = \varphipxphiq \\
|
||||
\varphi \textit{(N)} & = \pmineinsxqmineins \\
|
||||
\varphi \textit{(N)} & = (7-1) \cdot (11-1) \\
|
||||
\varphi \textit{(N)} & = 60
|
||||
\end{align*}
|
||||
von \(q=q-1\) ist und erhalten als Phi von N = 60 = m.\\
|
||||
\\
|
||||
\fbox{%
|
||||
\begin{minipage}[t][35mm][t]{0.3\textwidth}
|
||||
Theorie:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\varphi \textit{(N)} & = \m \\
|
||||
\varphi \textit{(N)} & = \varphipxphiq \\
|
||||
\varphi \textit{(N)} & = \pmineinsxqmineins \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{minipage}%
|
||||
}
|
||||
\fbox{%
|
||||
\begin{minipage}[t][35mm][t]{0.3\textwidth}
|
||||
Beispiel:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\\
|
||||
\\
|
||||
\varphi \textit{(N)} & = \siebenmineinsxelfmineins \\
|
||||
\varphi \textit{(N)} & = 60
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{minipage}%
|
||||
}
|
||||
|
||||
\subsection{Konstruktion \textit{e}}
|
||||
Wir bestimmen eine zu \textit{m} = 60 teilerfremde Primzahl die grösser 1, aber kleiner m sein muss. \\
|
||||
|
|
@ -174,75 +209,123 @@ bestummen. Dies bedeutet, wenn wir \(\bmod\varphi \textit{(N)}\) rechnen, hat
|
|||
\textit{e} einen Inversis. Wir bestimmen \textit{d} mit:
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\textit{e} * \textit{d} = 1 \bmod \varphi \textit{(N)}
|
||||
\textit{e} \cdot \textit{d} = 1 \bmod \varphi \textit{(N)}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Formen dies um :
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\textit{d} =\textit{e}^{-1} \bmod \varphi\textit{(N)}
|
||||
\textit{d} =\textit{e}^{-1} \bmod \varphi\textit{(N)}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
% vieleicht lässt sich hier etwas vereinfachen:
|
||||
??? --- Ist diese Formel das gleiche wie diese: --- IH 10.1.17 ???
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\textit{d} = \frac{\bmod \varphi\textit{(N)}}{\textit{e}}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Danach können wir die Zahlen in die Formel setzen :
|
||||
% und hier ist aus meiner Sicht was falsch: phi(N) ist 60 nur N ist 77 was ist richtig?
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\textit{e}^{-1} \bmod \varphi\textit{(N)} \equiv 7^{-1} \bmod \varphi(77) -> war das oben nicht 60..? HI 20.1.17
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\textit{e}^{-1} \bmod \varphi\textit{(N)} \equiv 7^{-1} \bmod \varphi(77)
|
||||
7^{-1} \bmod \varphi(60)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\textit{e}^{-1} \bmod \varphi\textit{(N)} \equiv 7^{-1} \bmod \siebenmineinsxelfmineins
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Aus der letzten Gleichung berechnen wir die Inverse, indem wir erstmal aus 60 und 7 den
|
||||
euklidischen Algorithmus formen, als wollten wir den ggT dieser Zahlen
|
||||
ermitteln. Wir wissen schon dass der ggT(60,7) 1 ist, brauchen jedoch wie man gleich sieht einen Teil der kommenden Gleichung.\\
|
||||
|
||||
In der Anwendung bauen wir die Gleichung auf nach :
|
||||
|
||||
m= Wert * e + Wert\\
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
60 & = 8 \cdot 7 + 4\\ % IH | 60 und 7 kommen aus e und m und wir rechnen hier wieviel mal 7 + der rest 60 gibt
|
||||
7 & = 1 \cdot 4 + 3\\
|
||||
4 & = 1 \cdot 3 + 1 \label{eq:bspd1}\\ % IH | Labels können mit \ref{} dynamisch wieder aufgerufen werden
|
||||
3 & = 3 \cdot 1 + 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
In der Anwendung bauen wir die Gleichung auf nach : \\
|
||||
\\
|
||||
\fbox{%
|
||||
\begin{minipage}[t][40mm][t]{0.3\textwidth}
|
||||
Theorie:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
m & = Wert \cdot e + Wert \\
|
||||
\\
|
||||
\\
|
||||
\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{minipage}%
|
||||
}
|
||||
\fbox{%
|
||||
\begin{minipage}[t][40mm][t]{0.3\textwidth}
|
||||
Beispiel:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
60 & = 8 \cdot 7 + 4\\ % IH | 60 und 7 kommen aus e und m und wir rechnen hier wieviel mal 7 + der rest 60 gibt
|
||||
7 & = 1 \cdot 4 + 3\\
|
||||
4 & = 1 \cdot 3 + 1 \label{eq:bspd1}\\ % IH | Labels können mit \ref{} dynamisch wieder aufgerufen werden
|
||||
3 & = 3 \cdot 1 + 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{minipage}%
|
||||
}
|
||||
|
||||
Der erweiterte euklidische Algorithmus besteht nun darin, ausgehend von der
|
||||
vorletzten Seite, diese Rechenschritte ''von unten nach oben'' in der folgenden
|
||||
Weise aufzurollen, indem die einzelnen Zeilen nach den Resten aufgelöst und
|
||||
diese nacheinander eingesetzt werden:
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
1 & = 4 - 1 \cdot 3 \\
|
||||
1 & = 4 - 1 \cdot ( 7- 1 \cdot 4)\\
|
||||
1 & = 4 - 1 \cdot 7 + 1 \cdot 4\\
|
||||
1 & =(-1) \cdot 7 + 2 \cdot 4 \\
|
||||
1 & = (-1) \cdot 7 + 2 \cdot (60-8 \cdot 7)\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Zu beachten ist, dass wir alle Klammern, jedoch nicht alle Produkte
|
||||
ausmultiplizieren\\
|
||||
\\
|
||||
\\
|
||||
\\
|
||||
\\
|
||||
\\
|
||||
diese nacheinander eingesetzt werden:\\
|
||||
\\
|
||||
\fbox{%
|
||||
\begin{minipage}[t][40mm][t]{0.3\textwidth}
|
||||
Theorie:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\\
|
||||
\\ % hier könnte ein Theorieteil eingefügt werden
|
||||
\\
|
||||
\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{minipage}%
|
||||
}
|
||||
\fbox{%
|
||||
\begin{minipage}[t][40mm][t]{0.3\textwidth}
|
||||
Beispiel:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
1 & = 4 - 1 \cdot 3 \\
|
||||
1 & = 4 - 1 \cdot ( 7- 1 \cdot 4)\\
|
||||
1 & = 4 - 1 \cdot 7 + 1 \cdot 4\\
|
||||
1 & =(-1) \cdot 7 + 2 \cdot 4 \\
|
||||
1 & = (-1) \cdot 7 + 2 \cdot (60-8 \cdot 7)\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{minipage}%
|
||||
} \\
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Zu beachten ist, dass wir alle Klammern, jedoch nicht alle Produkte %das verstehe ich nicht HI | 10.1.17
|
||||
ausmultiplizieren\\
|
||||
\\
|
||||
Da unsere Inverse positiv und kleiner 60 sein soll, addieren wir \(60*7\) auf
|
||||
der linken Seite. Die rechte Seite verändert sich nicht, da wir mod 60 rechnen.
|
||||
der linken Seite. Die rechte Seite verändert sich nicht, da wir mod 60 rechnen.\\
|
||||
\\
|
||||
\fbox{%
|
||||
\begin{minipage}[t][40mm][t]{0.3\textwidth}
|
||||
Theorie:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\\
|
||||
\\ % hier könnte ein Theorieteil eingefügt werden
|
||||
\\
|
||||
\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{minipage}%
|
||||
}
|
||||
\fbox{%
|
||||
\begin{minipage}[t][40mm][t]{0.3\textwidth}
|
||||
Beispiel:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
1 & = 2 \cdot 60 -17 \cdot 7 \,\mid \bmod\\
|
||||
1 & = 43 \cdot 7 \, \bmod 60 \,\mid (60 - 17 = 43)\\
|
||||
1 & = \textit{d} ^\textit{e} \, \bmod \textit{n} \, \, \,\mid Umformen \, nach
|
||||
\, \textit{d} \, \\
|
||||
\textit{d} & = 7^{-1} \, \bmod 60 \\
|
||||
\textit{d} & = 43
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{minipage}%
|
||||
} \\
|
||||
% IH | in Formeln werden leerzeichen ignoriert darum kann mit " \, " , " \: " ,
|
||||
%" \; " erstellt einen "schmalen", "mittleren" und "breiten" Leerschlag. Es geht
|
||||
%auch mit \thinspace, \medspace oder \thickspace...
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
1 & = 2 \cdot 60 -17 \cdot 7 \,\mid \bmod\\
|
||||
1 & = 43 \cdot 7 \, \bmod 60 \,\mid (60 - 17 = 43)\\
|
||||
1 & = \textit{d} ^\textit{e} \, \bmod \textit{n} \, \, \,\mid Umformen \, nach
|
||||
\, \textit{d} \, \\
|
||||
% IH | in Formeln werden leerzeichen ignoriert darum kann mit " \, " , " \: " ,
|
||||
%" \; " erstellt einen "schmalen", "mittleren" und "breiten" Leerschlag. Es geht
|
||||
%auch mit \thinspace, \medspace oder \thickspace...
|
||||
\textit{d} & = 7^{-1} \, \bmod 60 \\
|
||||
\textit{d} & = 43
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
Danach lösen wir die Gleichung nach d auf.
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in New Issue