meeting überarbeitung
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@ -137,7 +137,7 @@ In den folgenden Seiten berechnen wir : \\
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\textit{q} = Primzahl \\
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\textit{e} = Teilerfremder Wert \\
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\textit{d} = modular inverse \\
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\ In dem $\textit{e}+\textit{n}$ den öffentlichen und $\textit{d}+\textit{n}$
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\ In dem $\textit{e}+\textit{N}$ den öffentlichen und $\textit{d}+\textit{N}$
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den privaten Schlüssel bilden. \\
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@ -191,15 +191,16 @@ Beispiel:
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\\
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\\
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\varphi \textit{(N)} & = \siebenmineinsxelfmineins \\
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\varphi \textit{(N)} & = 60
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\varphi \textit{(N)} & = 60 \\
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\textit{m} & = 60
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\end{align*}
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\end{minipage}%
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}
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\subsection{Konstruktion \textit{e}}
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Wir bestimmen eine zu \textit{m} = 60 teilerfremde Primzahl die grösser 1, aber
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kleiner m sein muss. Wir nehmen in unserem Beispiel 7 da sie nicht durch 60
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teilbar ist und beide den ggT 1 besitzten.
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kleiner m sein muss. Wir nehmen in unserem Beispiel \textit{e} = 7 da sie nicht durch 60
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teilbar ist und beide den ggT 1 besitzen.
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\subsection{Konstruktion \textit{d}}
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Zuvor haben wir \textit{e} mit der Eigenschaft :
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@ -215,33 +216,41 @@ bestummen. Dies bedeutet, wenn wir \(\bmod\varphi \textit{(N)}\) rechnen, hat
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\textit{e} \cdot \textit{d} = 1 \bmod \varphi \textit{(N)}
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\end{equation*}
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Formen dies um :
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\begin{equation*}
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\textit{d} =\textit{e}^{-1} \bmod \varphi\textit{(N)}
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\end{equation*}
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% vieleicht lässt sich hier etwas vereinfachen:
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??? --- Ist diese Formel das gleiche wie diese: --- IH 10.1.17 ???
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AZ: Ja das ist die gleiche da $\frac{1}{e}$ das gleiche ist wie $e^{-1}$
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\begin{equation*}
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\textit{d} = \frac{\bmod \varphi\textit{(N)}}{\textit{e}}
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\end{equation*}
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Danach können wir die Zahlen in die Formel setzen :
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% und hier ist aus meiner Sicht was falsch: phi(N) ist 60 nur N ist 77 was ist richtig?
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% AZ: Ich würde hier generell auch gerne dann die Texte anpassen. Das könnte man
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% IMO gut noch detailierter ausführen.
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\begin{equation*}
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\textit{e}^{-1} \bmod \varphi\textit{(N)} \equiv 7^{-1} \bmod \varphi(77) ->
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war das oben nicht 60..? HI 20.1.17
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\end{equation*}
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\begin{equation*}
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7^{-1} \bmod \varphi(60)
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\end{equation*}
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\begin{equation*}
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\textit{e}^{-1} \bmod \varphi\textit{(N)} \equiv 7^{-1} \bmod
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\siebenmineinsxelfmineins
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\end{equation*}
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Formen diese nach \textit{d} um :\\[1em]
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\fbox{%
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\begin{minipage}[t][40mm][t]{0.3\textwidth}
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Theorie:
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\begin{align*}
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\textit{d} = \frac{\bmod \varphi\textit{(N)}}{\textit{e}}
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||||
\end{align*}
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\end{minipage}%
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}
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\fbox{%
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||||
\begin{minipage}[t][40mm][t]{0.3\textwidth}
|
||||
Beispiel:
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\begin{align*}
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\frac{\bmod \varphi\textit{(77)}}{\textit{7}}
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||||
\end{align*}
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\end{minipage}%
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||||
}\\
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||||
Danach können wir die Zahlen in die Formel setzen :\\
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\fbox{%
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\begin{minipage}[t][20mm][t]{0.3\textwidth}
|
||||
Theorie:
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\begin{align*}
|
||||
\textit{e}^{-1} \bmod \varphi\textit{(N)}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{minipage}%
|
||||
}
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||||
\fbox{%
|
||||
\begin{minipage}[t][20mm][t]{0.3\textwidth}
|
||||
Beispiel:
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\begin{align*}
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\frac{\bmod \varphi(77)}{\textit{7}}\\
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\frac{\bmod \siebenmineinsxelfmineins}{\textit{7}}
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||||
\end{align*}
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||||
\end{minipage}%
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}\\[2em]
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Aus der letzten Gleichung berechnen wir die Inverse, indem wir erstmal aus 60
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und 7 den euklidischen Algorithmus formen, als wollten wir den ggT dieser Zahlen
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ermitteln. Wir wissen schon dass der ggT(60,7) 1 ist, brauchen jedoch wie man
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@ -264,7 +273,7 @@ Theorie:
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\begin{minipage}[t][40mm][t]{0.3\textwidth}
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Beispiel:
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\begin{align*}
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60 & = 8 \cdot 7 + 4\\ % IH | 60 und 7 kommen aus e und m und wir rechnen hier wieviel mal 7 + der rest 60 gibt
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60 & = 8 \cdot 7 + 4\\
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7 & = 1 \cdot 4 + 3\\
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4 & = 1 \cdot 3 + 1 \label{eq:bspd1}\\ % IH | Labels können mit \ref{} dynamisch wieder aufgerufen werden
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3 & = 3 \cdot 1 + 0
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@ -279,7 +288,7 @@ diese nacheinander eingesetzt werden:\\
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\\
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\fbox{%
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\begin{minipage}[t][40mm][t]{0.3\textwidth}
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Theorie:
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%Theorie:
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\begin{align*}
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\\
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||||
\\ % hier könnte ein Theorieteil eingefügt werden
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@ -302,9 +311,9 @@ Beispiel:
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} \\
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Zu beachten ist, dass wir alle Klammern, jedoch nicht alle Produkte %das verstehe ich nicht HI | 10.1.17
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ausmultiplizieren\\
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ausmultiplizieren.\\
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||||
\\
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||||
Da unsere Inverse positiv und kleiner 60 sein soll, addieren wir \(60*7\) auf
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Da unsere Inverse von \textit{e} positiv und kleiner 60 sein soll, addieren wir \(60 \cdot 7\) auf
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der linken Seite. Die rechte Seite verändert sich nicht, da wir mod 60 rechnen.\\
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\\
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\fbox{%
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||||
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@ -314,23 +323,25 @@ Theorie:
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\\
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\\ % hier könnte ein Theorieteil eingefügt werden
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\\
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\\
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\\
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\textit{e} ^\textit{-1} \, \bmod \textit{N}
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||||
\end{align*}
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||||
\end{minipage}%
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||||
\end{minipage}% isi empfielt: https://www.youtube.com/watch?v=Grd-sxx5dEQ
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}
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\fbox{%
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||||
\begin{minipage}[t][40mm][t]{0.3\textwidth}
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||||
Beispiel:
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\begin{align*}
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1 & = 2 \cdot 60 -17 \cdot 7 \,\mid \bmod\\
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1 & = -17 \cdot 7 \bmod 60 \mid + 60 \cdot 7\\
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1 & = 43 \cdot 7 \, \bmod 60 \,\mid (60 - 17 = 43)\\
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||||
1 & = \textit{d} ^\textit{e} \, \bmod \textit{n} \, \, \,\mid Umformen \, nach
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||||
1 & = \textit{d} ^\textit{e} \, \bmod \textit{N} \, \, \,\mid Umformen \, nach
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||||
\, \textit{d} \, \\
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||||
\textit{d} & = 7^{-1} \, \bmod 60 \\
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||||
\textit{d} & = 43
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||||
\textit{d} & = 43 \\
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||||
\end{align*}
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||||
\end{minipage}%
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} \\
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||||
\end{minipage}%
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} \\[1em]
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% IH | in Formeln werden leerzeichen ignoriert darum kann mit " \, " , " \: " ,
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%" \; " erstellt einen "schmalen", "mittleren" und "breiten" Leerschlag. Es geht
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%auch mit \thinspace, \medspace oder \thickspace...
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@ -340,57 +351,77 @@ Danach lösen wir die Gleichung nach d auf.
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\section{Verschlüsselung}
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Im Beispiel der Schlüsselkonstruktion werden die Variablen e und N als
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Im Beispiel der Schlüsselkonstruktion werden die Variablen \textit{e} und \textit{N} als
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öffentlicher Schlüssel festgelegt. Dieser wird benötigt um eine Nachricht für
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den dafür entsprechenden Empfänger zu verschlüsseln. Mit der daraus
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resultierenden Zahl sowie dem privaten Schlüssel, welcher aus den Variablen d
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und N besteht, kann die Nachricht wieder entschlüsselt werden.
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In unserem Beispiel lautet der private Schlüssel also: \(43+77\)
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resultierenden Zahl sowie dem privaten Schlüssel, welcher aus den Variablen \textit{d}
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und \textit{N} besteht, kann die Nachricht wieder entschlüsselt werden. \\
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\\
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In unserem Beispiel lautet der private Schlüssel also: \(43+77\)\\
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und der öffentliche Schlüssel: \(7+77\)
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\subsection {Der eigentliche Akt der Verschlüsselung}
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Wollen wir nun eine Nachricht mit dem öffentlichen Schlüssel verschlüsseln, so
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das sie also nur noch für den Empfänger mit dem entsprechenden privaten
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das sie nur noch für den Empfänger mit dem entsprechenden privaten
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Schlüssel zu entschlüsseln ist, gehen wir folgendermassen vor:
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Wir kennen die beiden Zahlen des öffentlichen Schlüssels: \(7+77\)
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Unsere zu verschlüsselnde Nachricht x: 45 (muss kleiner sein als N)
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Unsere zu verschlüsselnde Nachricht x: 47 (muss kleiner sein als \textit{N})
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(Wie bereits in einem früheren Kapitel erwähnt sind solche öffentliche
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Schlüssel Primzahlen mit mehreren hundert Stellen, somit ist diese Regel im
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Normalfall irrelevant. Da wir aber in unserem Beispiel keine so grossen
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Primzahlen verwenden müssen wir diesen Punkt beachten um sicherzustellen das
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wir auch ein korrektes Ergebnis erhalten.)
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Die Nachricht wird nun mit folgender Formel verschlüsselt:
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\begin{align*}
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\textit{y} & = \textit{x}^\textit{a} \bmod \textit{n} \\ %Sollte n nicht N sein?
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\textit{y} & = 45^{43} \bmod 77 \\
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\textit{y} & = 45 \\
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\end{align*}
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\subsection{Die Übermittlung}
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TODO: Muss ergänzt werden.
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45 (y) ist nun also unsere Verschlüsselte Nachricht, welche nun an den Empfänger
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Die Nachricht wird nun mit folgender Formel verschlüsselt: \\
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\fbox{%
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\begin{minipage}[t][40mm][t]{0.3\textwidth}
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Theorie:
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\begin{align*}
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||||
\textit{y} & = \textit{x}^\textit{e} \bmod \textit{N} \\
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\\
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\end{align*}
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\end{minipage}%
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}
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\fbox{%
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||||
\begin{minipage}[t][40mm][t]{0.3\textwidth}
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||||
Beispiel:
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\begin{align*}
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\textit{y} & = 47^{7} \bmod 77 \\
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\textit{y} & = 75 \\
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\end{align*}
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\end{minipage}%
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}\\
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47 (y) ist unsere Verschlüsselte Nachricht, welche an den Empfänger
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übermittelt wird.
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\section{Entschlüsselung}
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Um die Nachricht zu entschlüsseln muss zuerst d errechnet werden, dies geschieht
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Um die Nachricht zu entschlüsseln muss zuerst \textit{d} errechnet werden, dies geschieht
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mithilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus. Diese Berechnung wurde
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bereits im Kapitel Schlüsselerzeugung erledigt.
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Unsere gesuchte Zahl lautet demnach 43 (d)
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Unsere gesuchte Zahl lautet demnach 47 (\textit{d})
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Da nun alle benötigten Variablen bekannt sind kann die Nachricht mit folgender
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Formel entschlüsselt werden.
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Formel entschlüsselt werden.\\
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\fbox{%
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\begin{minipage}[t][40mm][t]{0.3\textwidth}
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Theorie:
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\begin{align*}
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\textit{x} & = \textit{y}^\textit{d} \bmod \textit{N} \\
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\\
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||||
\end{align*}
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||||
\end{minipage}%
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||||
}
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||||
\fbox{%
|
||||
\begin{minipage}[t][40mm][t]{0.3\textwidth}
|
||||
Beispiel:
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\begin{align*}
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\textit{x} & = 75^{43} \bmod 77 \\
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\textit{x} & = 47 \\
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\end{align*}
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||||
\end{minipage}%
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||||
}\\
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||||
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||||
\begin{align*}
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||||
\textit{x} & = \textit{y}^\textit{d} \bmod \textit{n} \\
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||||
\textit{x} & = 45^{43} \bmod 77 \\
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\textit{x} & = 45 \\
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\end{align*}
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\section{Schwachstellen}
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Obwohl schon einige verkündet haben die RSA Verschlüsselung geknackt zu haben
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